|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Stelling van Menelaos
Ik zit vast bij de volgende stelling :
|sin(n·x)|  = n·|sin x|
Tot hier ben ik geraakt :
1) bewijs voor 1
|sin(1·x)| = 1·|sin x|
=
|sin x| = |sin x| == Stelling is WAAR voor 1
2) bewijs voor n
zie opgave
3) bewijs voor n+1
|sin((n+1)·x)| = (n+1)·|sin x|
|sin(n·x + x)| = (n+1)·|sin x|
|sin nx·cos x + cos nx·sin x| = (n+1)·|sin x|
Tot hier lijkt me alles goed te zijn. Ik denk dat ik bij de volgende stap de verkeerde richting uitga.
|sin nx·cos x + cos nx·sin x| = |n·sin x| + |sin x|
En nu zou ik niet direct weten welke richting ik verder uit kan gaan 
Antwoord
Ik vind je formulering van het principe van volledige inductie nogal vreemd, alsof je het niet helemaal ten volle begrijpt.
Met punt 1 ben ik akkoord maar punt 2 is niet te bewijzen, dat is de veronderstelling die je maakt in het bewijs van punt 3!
In punt 3 kan je ook niet beginnen van wat je nog moet bewijzen. Wat je wel kan doen is beginnen met de uitdrukkingen aan de linkerkant en met behulp van de eigenschap uit punt 2 die van punt 3 bewijzen. En dat geeft weinig moeilijkheden:
|sin((n+1)x)|
= |sin(nx)cos(x)+sin(x)cos(nx)|
= |sin(nx)cos(x)| + |sin(x)cos(nx)| (driehoeksongelijkheid)
= |sin(nx)| + |sin(x)| (want 0=|cos(.)|=1)
= n|sin(x)| + |sin(x)| (veronderstelling)
= (n+1)|sin(x)|
wat het bewijs door volledige inductie vervolledigt (n=1 - n=2 - n=3 - ...)
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
